Tek Çözüm Teoremi

Durgun elektriğin temel amacı verilen bir yük dağılımının elektrik alanının istenilen noktalarda bulunmasıdır.
Bu işlemi daha kolay yapmak için potansiyel kavramı tanımlanır ve eğer baktığımız noktalarda herhangi bir yük yoğunluğu yoksa bu noktalar için Laplace denklemi geçerlidir. yani:
$\nabla^{2}\varphi=0$
 Bu koşulu sağlayan fonksiyonlara harmonik fonksiyonlar denir. Fakat incelediğimiz noktada bu denklemin tek bir çözümünün olduğundan nasıl emin olabiliriz? Yani bu denklemi çözen tek bir fonksiyon olduğunu nasıl ispatlayabiliriz?
 
 Önce bu ispat için gerekli olacak bazı eşitlikleri yazalım.$\phi$ ve $\psi$ iki skaler fonksiyon olsun. O hâlde
$\nabla(\phi\nabla\psi)=\nabla\phi\nabla\psi +\phi\nabla^{2}\psi$
ve diverjans teoreminden herhangi bir $\vec{A}$ vektör alanı için:
$\int(\nabla.\vec{A})dV=\oint\vec{A}.\vec{ds}$
yazılabilir. Diverjans teoreminde $\vec{A}$ yerine $\phi\nabla\psi$ yazarsak, ikinci denklemi de kullanarak:
             $\int(\nabla\phi\nabla\psi +\phi\nabla^{2}\psi)dV=\oint\phi\nabla\psi.\vec{ds}$ 
 denklemini elde ederiz. Bu ifadeye birinci Green özdeşliği denir.
Şimdi asıl problemimimize geri dönelim.
Diyelim ki ilk denklemi çözen iki farklı fonksiyon olsun; $\varphi_{1}$ ve $\varphi_{2}$. Bu fonksiyonlar için:
            $\nabla^{2}\varphi_{1}=0$             ve        
            $\nabla^{2}\varphi_{2}=0$
        
geçerli olacak. Laplace denkelmini çözebilmek için bu fonksiyonların, elektrik alanın arandığı bölgenin sınırlarındaki değerleri bilinmelidir. Bu iki potansiyelin aynı elektrik alanı vermesi için sınır koşullarındaki değerleri aynı olmalıdır. yani:
$\varphi_{1}(\vec{R}_{sınır})=\varphi_{2}(\vec{R}_{sınır})$
 Şimdi yeni bir fonksiyon tanımlayalım: $\Phi=\varphi_{1}-\varphi_{2}$. $\Phi$ fonksiyon da bir harmonik fonksiyon olacak ve sınırlarda 0 değerini alacak.
$\nabla^{2}\Phi=\nabla^{2}\varphi_{1}-\nabla^{2}\varphi_{2}=0$
$\Phi(\vec{R}_{sınır})=\varphi_{1}(\vec{R}_{sınır})-\varphi_{2}(\vec{R}_{sınır})=0$
 Şimdi bu $\Phi$ fonksiyonunu Green özdeşliğine $\psi=\phi=\Phi$ olacak şekilde yerleştirelim:
$\int(\nabla\Phi\nabla\Phi+\Phi\nabla^{2}\Phi)dV=\oint\Phi\nabla\Phi.\vec{ds}$
$\varPhi$ için verilen özelliklerden dolayı  denklemin sağ tarafı ve $\nabla^{2}\Phi$'li terim yok olacak ve geriye:
$\int(\nabla\Phi)^{2}dV=0$
denklemi kalacak. Buradan da $\nabla\Phi=0\Rightarrow\Phi=c$ sabit fonksiyonu gelecek. Eğer $\Phi$ sabit bir fonksiyon ise sınırlardaki değeri herhangi başka bir noktadaki değerine eşit olmalıdır. Sınırda 0 değerini veriyor dolayısıyla elektrik alanı aradığımız bölgenin içindeki herhangi bir nokta için
$\Phi=0$ olmalıdır. Böylece:
$\Phi=\varphi_{1}-\varphi_{2}=0\Rightarrow\varphi_{1}=\varphi_{2}$
sonucuna ulaştık. Laplace denklemi için önerdiğimiz iki farklı çözüm birbirine eşit çıktı yani Laplace denklemini çözen tek bir fonksiyon olduğu kanıtlanmış oldu.

Sinan Ulaş Öztürk